P vs NP: Как разбиение на части решает сложные задачи

Новое исследование из Университета Ватерлоо продвигает решение одной из самых больших проблем теоретической информатики. По мнению Кэмерона Сета, аспиранта, работающего в области аппроксимации алгоритмов, ключ к решению кроется в разбиении задачи на более мелкие части.

«Все, кто работает в области информатики и математики, знают о проблеме P vs NP», — говорит Сет. «Это одна из знаменитых задач тысячелетия: настолько известная и настолько сложная, что за ее решение полагается миллион долларов». Чтобы понять суть проблемы «P vs NP», представьте себе огромную пазл-головоломку или судоку. Это была бы задача класса «P», если бы компьютер мог решить ее относительно быстро. Задачи же класса «NP» были бы чрезвычайно сложны для решения, но предложенное решение могло бы быть быстро проверено.

Например, решение судоку может занять у человека часы, но после предоставления готового решения проверка всех столбцов и строк на наличие правильных чисел займет всего несколько секунд. «Главный вопрос, который не дает покоя специалистам в области P vs NP, заключается в том, являются ли все быстро проверяемые решения также быстро решаемыми задачами. Легко ли решать каждую задачу, которую легко проверить?»

Практические последствия этого нерешенного вопроса в информатике влияют на значительные исследования и разработки в области криптографии, искусственного интеллекта и оптимизации. Наиболее распространенные методы шифрования, используемые для защиты сетей всех видов, основаны на предположении, что существуют задачи, которые чрезвычайно сложно решить, но легко проверить. Это основа логики всего, от онлайн-паролей до безопасных банковских переводов.

Вместо того чтобы решать проблему напрямую, исследование Сета сосредоточено на поиске решений для приближенных задач. «Я рассматриваю серию более мелких задач, связанных с более широкой проблемой P vs NP. По сути, я пытаюсь выяснить, можем ли мы решить эти другие связанные задачи», — говорит Сет. Его недавнее исследование в области графовых алгоритмов, например, предполагает огромную сеть с колоссальным количеством связей, подобную той, что можно найти в крупном приложении для социальных сетей. Сет выделяет меньшую часть этой графовой сети и задается вопросом, что эта небольшая часть головоломки может рассказать нам о целом.

Эта техническая инновация предоставляет комбинаторный инструмент, который затем может помочь решать сложные задачи оптимизации. Такие инструменты сокращают огромное количество возможных комбинаций до управляемого подмножества. Фундаментальное исследование Сета, таким образом, позволяет постепенно решать гораздо более сложные задачи в области информатики. «В моем исследовании я не пытаюсь найти одно единственное решение, а скорее определить, существует ли приблизительное решение, и что это может нам рассказать о всей группе подобных задач». Статья «A Tolerant Independent Set Tester» была представлена на Симпозиуме по теории вычислений 2025 года. Результаты опубликованы на препринт-сервере arXiv.